Selesaikan {l}{5x-4y=19}{3x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { 3 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{161}{11} = 14\frac{7}{11} \approx 14.636363636$$

$$y = \frac{149}{11} = 13\frac{6}{11} \approx 13.545454545$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=19$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Gantikan \frac{4y+19}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=71.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}\right)+2y=71$$

Darabkan 3 kali \frac{4y+19}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{57}{5}+2y=71$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{57}{5}=71$$

Tolak \frac{57}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{22}{5}y=\frac{298}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{22}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{149}{11}$$

Gantikan \frac{149}{11} dengan y dalam x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{149}{11}+\frac{19}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} dengan \frac{149}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{596}{55}+\frac{19}{5}$$

Tambahkan \frac{19}{5} pada \frac{596}{55} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{161}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{2}{11}\times 71\\-\frac{3}{22}\times 19+\frac{5}{22}\times 71\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{161}{11}\\\frac{149}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 19,5\times 3x+5\times 2y=5\times 71$$

Permudahkan.

$$15x-12y=57,15x+10y=355$$

Tolak 15x+10y=355 daripada 15x-12y=57 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-12y-10y=57-355$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-10y=57-355$$

Tambahkan -12y pada -10y.

$$-22y=57-355$$

Tambahkan 57 pada -355.

$$-22y=-298$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=\frac{149}{11}$$

Gantikan \frac{149}{11} dengan y dalam 3x+2y=71. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{149}{11}=71$$

Darabkan 2 kali \frac{149}{11}.

$$3x+\frac{298}{11}=71$$

Tolak \frac{298}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{483}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{161}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$