Selesaikan {l}{5x-4y=11}{3x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 11 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{25}{11} = 2\frac{3}{11} \approx 2.272727273$$

$$y=\frac{1}{11}\approx 0.090909091$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=11$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+11\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y+11.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{4y+11}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=7.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}\right)+2y=7$$

Darabkan 3 kali \frac{4y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{33}{5}+2y=7$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{33}{5}=7$$

Tolak \frac{33}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{22}{5}y=\frac{2}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{22}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{1}{11}$$

Gantikan \frac{1}{11} dengan y dalam x=\frac{4}{5}y+\frac{11}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{1}{11}+\frac{11}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} dengan \frac{1}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4}{55}+\frac{11}{5}$$

Tambahkan \frac{11}{5} pada \frac{4}{55} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{25}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 11+\frac{2}{11}\times 7\\-\frac{3}{22}\times 11+\frac{5}{22}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{11}\\\frac{1}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=11,3x+2y=7$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 11,5\times 3x+5\times 2y=5\times 7$$

Permudahkan.

$$15x-12y=33,15x+10y=35$$

Tolak 15x+10y=35 daripada 15x-12y=33 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-12y-10y=33-35$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-10y=33-35$$

Tambahkan -12y pada -10y.

$$-22y=33-35$$

Tambahkan 33 pada -35.

$$-22y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=\frac{1}{11}$$

Gantikan \frac{1}{11} dengan y dalam 3x+2y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{1}{11}=7$$

Darabkan 2 kali \frac{1}{11}.

$$3x+\frac{2}{11}=7$$

Tolak \frac{2}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{75}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{25}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{25}{11},y=\frac{1}{11}$$