Selesaikan {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=-3$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{4y-3}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x-4y=-13.

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

Darabkan 3 kali \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

Tambahkan \frac{9}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} kali 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{28}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Tolak 3x-4y=-13 daripada 5x-4y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

Tambahkan -4y pada 4y. Seubtan -4y dan 4y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5x-3x=-3+13$$

Tambahkan 5x pada -3x.

$$2x=-3+13$$

Tambahkan -3 pada 13.

$$2x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=5$$

Gantikan 5 dengan x dalam 3x-4y=-13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3\times 5-4y=-13$$

Darabkan 3 kali 5.

$$15-4y=-13$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=7$$