Selesaikan {l}{5x-3y=6}{4x+2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=6$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 6+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{6+3y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x+2y=3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

Darabkan 4 kali \frac{6+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada 2y.

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

Tolak \frac{24}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{22}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Gantikan -\frac{9}{22} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} dengan -\frac{9}{22} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

Tambahkan \frac{6}{5} pada -\frac{27}{110} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

Permudahkan.

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

Tolak 20x+10y=15 daripada 20x-12y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-10y=24-15$$

Tambahkan -12y pada -10y.

$$-22y=24-15$$

Tambahkan 24 pada -15.

$$-22y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=-\frac{9}{22}$$

Gantikan -\frac{9}{22} dengan y dalam 4x+2y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

Darabkan 2 kali -\frac{9}{22}.

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

Tambahkan \frac{9}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{42}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{21}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$