Selesaikan {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=28$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Gantikan \frac{3y+28}{5} dengan x dalam persamaan lain, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Darabkan 12 kali \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Tambahkan \frac{36y}{5} pada 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Tolak \frac{336}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{56}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} kali -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Tambahkan \frac{28}{5} pada -\frac{18}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Untuk menjadikan 5x dan 12x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Permudahkan.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Tolak 60x+20y=0 daripada 60x-36y=336 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Tambahkan 60x pada -60x. Seubtan 60x dan -60x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-36y-20y=336$$

Tambahkan -36y pada -20y.

$$-56y=336$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -56.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 12x+4y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Darabkan 4 kali -6.

$$12x-24=0$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-6$$