Selesaikan {l}{5x-3y=12}{x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 12 } \\ { x - 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=12$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 12+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12+3y}{5} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=1.

$$\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}-2y=1$$

Tambahkan \frac{3y}{5} pada -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{12}{5}=1$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{7}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{12}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Tambahkan \frac{12}{5} pada \frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 12-\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}\times 12-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=12,x-2y=1$$

Untuk menjadikan 5x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$5x-3y=12,5x+5\left(-2\right)y=5$$

Permudahkan.

$$5x-3y=12,5x-10y=5$$

Tolak 5x-10y=5 daripada 5x-3y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-3y+10y=12-5$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y+10y=12-5$$

Tambahkan -3y pada 10y.

$$7y=12-5$$

Tambahkan 12 pada -5.

$$7y=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x-2y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2=1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$