Selesaikan {l}{5x-3y=11}{4x-y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-3y=11$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=3y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3y+11.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{3y+11}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=2.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2$$

Darabkan 4 kali \frac{3y+11}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada -y.

$$\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2$$

Tolak \frac{44}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Gantikan -\frac{34}{7} dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} dengan -\frac{34}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}$$

Tambahkan \frac{11}{5} pada -\frac{102}{35} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

Permudahkan.

$$20x-12y=44,20x-5y=10$$

Tolak 20x-5y=10 daripada 20x-12y=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-12y+5y=44-10$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y+5y=44-10$$

Tambahkan -12y pada 5y.

$$-7y=44-10$$

Tambahkan 44 pada -10.

$$-7y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-\frac{34}{7}$$

Gantikan -\frac{34}{7} dengan y dalam 4x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2$$

Tolak \frac{34}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{20}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$