Selesaikan {l}{5x-2y=14}{3x+7y=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-2y=14$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=2y+14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 14+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Gantikan \frac{14+2y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

Darabkan 3 kali \frac{14+2y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada 7y.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Tolak \frac{42}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{41}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{63}{41}$$

Gantikan \frac{63}{41} dengan y dalam x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Darabkan \frac{2}{5} dengan \frac{63}{41} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada \frac{126}{205} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{140}{41}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Permudahkan.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Tolak 15x+35y=105 daripada 15x-6y=42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-35y=42-105$$

Tambahkan -6y pada -35y.

$$-41y=42-105$$

Tambahkan 42 pada -105.

$$-41y=-63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -41.

$$y=\frac{63}{41}$$

Gantikan \frac{63}{41} dengan y dalam 3x+7y=21. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

Darabkan 7 kali \frac{63}{41}.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Tolak \frac{441}{41} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{140}{41}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$