Selesaikan {l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=30$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=35$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+35.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Gantikan -\frac{y}{5}+7 dengan x dalam persamaan lain, 7x+1.1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1.1y=40$$

Darabkan 7 kali -\frac{y}{5}+7.

$$-\frac{7}{5}y+49+1.1y=40$$

Tambahkan -\frac{7y}{5} pada \frac{11y}{10}.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Tolak 49 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{10} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 30.

$$x=-6+7$$

Tambahkan 7 pada -6.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1.1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.1}{5\times 1.1-7}&-\frac{1}{5\times 1.1-7}\\-\frac{7}{5\times 1.1-7}&\frac{5}{5\times 1.1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=30$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=35,7x+1.1y=40$$

Untuk menjadikan 5x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$7\times 5x+7y=7\times 35,5\times 7x+5\times 1.1y=5\times 40$$

Permudahkan.

$$35x+7y=245,35x+5.5y=200$$

Tolak 35x+5.5y=200 daripada 35x+7y=245 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x+7y-5.5y=245-200$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-5.5y=245-200$$

Tambahkan 7y pada -\frac{11y}{2}.

$$1.5y=245-200$$

Tambahkan 245 pada -200.

$$1.5y=45$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.5 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam 7x+1.1y=40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+1.1\times 30=40$$

Darabkan 1.1 kali 30.

$$7x+33=40$$

Tolak 33 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=30$$