Selesaikan {l}{5x+y=13}{4x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 13 } \\ { 4 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+y=13$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -y+13.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

Gantikan \frac{-y+13}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x-3y=-1.

$$4\left(-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)-3y=-1$$

Darabkan 4 kali \frac{-y+13}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{52}{5}-3y=-1$$

Tambahkan -\frac{4y}{5} pada -3y.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{52}{5}=-1$$

Tolak \frac{52}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{57}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{19}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{13}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 3.

$$x=\frac{-3+13}{5}$$

Tambahkan \frac{13}{5} pada -\frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-4}&-\frac{1}{5\left(-3\right)-4}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-4}&\frac{5}{5\left(-3\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{4}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\\frac{4}{19}\times 13-\frac{5}{19}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+y=13,4x-3y=-1$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4y=4\times 13,5\times 4x+5\left(-3\right)y=5\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$20x+4y=52,20x-15y=-5$$

Tolak 20x-15y=-5 daripada 20x+4y=52 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+4y+15y=52+5$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+15y=52+5$$

Tambahkan 4y pada 15y.

$$19y=52+5$$

Tambahkan 52 pada 5.

$$19y=57$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 4x-3y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-3\times 3=-1$$

Darabkan -3 kali 3.

$$4x-9=-1$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$