Selesaikan {l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+6y=32$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-6y+32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -6y+32.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

Gantikan \frac{-6y+32}{5} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=-20.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

Darabkan 3 kali \frac{-6y+32}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

Tambahkan -\frac{18y}{5} pada -2y.

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

Tolak \frac{96}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{28}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

Darabkan -\frac{6}{5} kali 7.

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

Tambahkan \frac{32}{5} pada -\frac{42}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Untuk menjadikan 5x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

Permudahkan.

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

Tolak 15x-10y=-100 daripada 15x+18y=96 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y+10y=96+100$$

Tambahkan 18y pada 10y.

$$28y=96+100$$

Tambahkan 96 pada 100.

$$28y=196$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 28.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam 3x-2y=-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times 7=-20$$

Darabkan -2 kali 7.

$$3x-14=-20$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=7$$