Selesaikan {l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+5y=15$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-5y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -5y+15.

$$x=-y+3$$

Gantikan -y+3 dengan x dalam persamaan lain, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

Darabkan 4 kali -y+3.

$$-4y+12+10y=-2$$

Tambahkan -4y pada 10y.

$$6y+12=-2$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Gantikan -\frac{7}{3} dengan y dalam x=-y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

Darabkan -1 kali -\frac{7}{3}.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

Tambahkan 3 pada \frac{7}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Untuk menjadikan 5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Tolak 20x+50y=-10 daripada 20x+20y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-50y=60+10$$

Tambahkan 20y pada -50y.

$$-30y=60+10$$

Tambahkan 60 pada 10.

$$-30y=70$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Gantikan -\frac{7}{3} dengan y dalam 4x+10y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

Darabkan 10 kali -\frac{7}{3}.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Tambahkan \frac{70}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$