Selesaikan {l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+4y=-3$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-4y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -4y-3.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{-4y-3}{5} dengan x dalam persamaan lain, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

Darabkan 6 kali \frac{-4y-3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

Tambahkan -\frac{24y}{5} pada 3y.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Tambahkan \frac{18}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{9}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Gantikan -\frac{8}{9} dengan y dalam x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Darabkan -\frac{4}{5} dengan -\frac{8}{9} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{32}{45} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Untuk menjadikan 5x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Tolak 30x+15y=-10 daripada 30x+24y=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

Tambahkan 30x pada -30x. Seubtan 30x dan -30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-15y=-18+10$$

Tambahkan 24y pada -15y.

$$9y=-18+10$$

Tambahkan -18 pada 10.

$$9y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=-\frac{8}{9}$$

Gantikan -\frac{8}{9} dengan y dalam 6x+3y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

Darabkan 3 kali -\frac{8}{9}.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$