Selesaikan {l}{5x+3y=-2}{2x-2y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 2 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y-2.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{-3y-2}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x-2y=-4.

$$2\left(-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}\right)-2y=-4$$

Darabkan 2 kali \frac{-3y-2}{5}.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{4}{5}-2y=-4$$

Tambahkan -\frac{6y}{5} pada -2y.

$$-\frac{16}{5}y-\frac{4}{5}=-4$$

Tambahkan \frac{4}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{16}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y-\frac{2}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-3-2}{5}$$

Tambahkan -\frac{2}{5} pada -\frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&-\frac{3}{5\left(-2\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-2\right)-3\times 2}&\frac{5}{5\left(-2\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-2\right)+\frac{3}{16}\left(-4\right)\\\frac{1}{8}\left(-2\right)-\frac{5}{16}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=-2,2x-2y=-4$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\left(-2\right),5\times 2x+5\left(-2\right)y=5\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$10x+6y=-4,10x-10y=-20$$

Tolak 10x-10y=-20 daripada 10x+6y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+6y+10y=-4+20$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+10y=-4+20$$

Tambahkan 6y pada 10y.

$$16y=-4+20$$

Tambahkan -4 pada 20.

$$16y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 2x-2y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-2=-4$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=1$$