Selesaikan {l}{5x+3y=-1}{7x+2y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = - 1 } \\ { 7 x + 2 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+3y=-1,7x+2y=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+3y=-1$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-3y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y-1\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -3y-1.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{-3y-1}{5} dengan x dalam persamaan lain, 7x+2y=-8.

$$7\left(-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}\right)+2y=-8$$

Darabkan 7 kali \frac{-3y-1}{5}.

$$-\frac{21}{5}y-\frac{7}{5}+2y=-8$$

Tambahkan -\frac{21y}{5} pada 2y.

$$-\frac{11}{5}y-\frac{7}{5}=-8$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{33}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y-\frac{1}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\times 3-\frac{1}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali 3.

$$x=\frac{-9-1}{5}$$

Tambahkan -\frac{1}{5} pada -\frac{9}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+3y=-1,7x+2y=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-3\times 7}&-\frac{3}{5\times 2-3\times 7}\\-\frac{7}{5\times 2-3\times 7}&\frac{5}{5\times 2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\\frac{7}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{11}\left(-1\right)+\frac{3}{11}\left(-8\right)\\\frac{7}{11}\left(-1\right)-\frac{5}{11}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+3y=-1,7x+2y=-8$$

Untuk menjadikan 5x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$7\times 5x+7\times 3y=7\left(-1\right),5\times 7x+5\times 2y=5\left(-8\right)$$

Permudahkan.

$$35x+21y=-7,35x+10y=-40$$

Tolak 35x+10y=-40 daripada 35x+21y=-7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x+21y-10y=-7+40$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-10y=-7+40$$

Tambahkan 21y pada -10y.

$$11y=-7+40$$

Tambahkan -7 pada 40.

$$11y=33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 7x+2y=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+2\times 3=-8$$

Darabkan 2 kali 3.

$$7x+6=-8$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=3$$