Selesaikan {l}{5x+2y=24}{y=x-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 24 } \\ { y = x - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=24$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+24\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+24.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}$$

Gantikan \frac{-2y+24}{5} dengan x dalam persamaan lain, -x+y=-2.

$$-\left(-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}\right)+y=-2$$

Darabkan -1 kali \frac{-2y+24}{5}.

$$\frac{2}{5}y-\frac{24}{5}+y=-2$$

Tambahkan \frac{2y}{5} pada y.

$$\frac{7}{5}y-\frac{24}{5}=-2$$

Tambahkan \frac{24}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{5}y=\frac{14}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+\frac{24}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 2+\frac{24}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} kali 2.

$$x=\frac{-4+24}{5}$$

Tambahkan \frac{24}{5} pada -\frac{4}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{5-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-2\left(-1\right)}&\frac{5}{5-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 24-\frac{2}{7}\left(-2\right)\\\frac{1}{7}\times 24+\frac{5}{7}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=24,-x+y=-2$$

Untuk menjadikan 5x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-5x-2y=-24,5\left(-1\right)x+5y=5\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-5x-2y=-24,-5x+5y=-10$$

Tolak -5x+5y=-10 daripada -5x-2y=-24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x-2y-5y=-24+10$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-5y=-24+10$$

Tambahkan -2y pada -5y.

$$-7y=-24+10$$

Tambahkan -24 pada 10.

$$-7y=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+2=-2$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$