Selesaikan {l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=-6$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y-6.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Gantikan \frac{-2y-6}{5} dengan x dalam persamaan lain, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

Darabkan 2 kali \frac{-2y-6}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

Tambahkan -\frac{4y}{5} pada 5y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

Tambahkan \frac{12}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{21}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{52}{21}$$

Gantikan \frac{52}{21} dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan \frac{52}{21} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

Tambahkan -\frac{6}{5} pada -\frac{104}{105} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

Untuk menjadikan 5x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

Permudahkan.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

Tolak 10x+25y=40 daripada 10x+4y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-25y=-12-40$$

Tambahkan 4y pada -25y.

$$-21y=-12-40$$

Tambahkan -12 pada -40.

$$-21y=-52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -21.

$$y=\frac{52}{21}$$

Gantikan \frac{52}{21} dengan y dalam 2x+5y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

Darabkan 5 kali \frac{52}{21}.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

Tolak \frac{260}{21} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-\frac{46}{21}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$