Selesaikan {l}{5x+2y=-19}{-2x+4y=22}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 19 } \\ { - 2 x + 4 y = 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=-19,-2x+4y=22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=-19$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-19\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y-19.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{19}{5}$$

Gantikan \frac{-2y-19}{5} dengan x dalam persamaan lain, -2x+4y=22.

$$-2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{19}{5}\right)+4y=22$$

Darabkan -2 kali \frac{-2y-19}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{38}{5}+4y=22$$

Tambahkan \frac{4y}{5} pada 4y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{38}{5}=22$$

Tolak \frac{38}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{24}{5}y=\frac{72}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{24}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y-\frac{19}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times 3-\frac{19}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} kali 3.

$$x=\frac{-6-19}{5}$$

Tambahkan -\frac{19}{5} pada -\frac{6}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=-19,-2x+4y=22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{5\times 4-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-2\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 4-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-19\right)-\frac{1}{12}\times 22\\\frac{1}{12}\left(-19\right)+\frac{5}{24}\times 22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=-19,-2x+4y=22$$

Untuk menjadikan 5x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-2\times 5x-2\times 2y=-2\left(-19\right),5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 22$$

Permudahkan.

$$-10x-4y=38,-10x+20y=110$$

Tolak -10x+20y=110 daripada -10x-4y=38 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x-4y-20y=38-110$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y-20y=38-110$$

Tambahkan -4y pada -20y.

$$-24y=38-110$$

Tambahkan 38 pada -110.

$$-24y=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -24.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -2x+4y=22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+4\times 3=22$$

Darabkan 4 kali 3.

$$-2x+12=22$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=3$$