Selesaikan {l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+10y=-70$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-10y-70$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -10y-70.

$$x=-2y-14$$

Gantikan -2y-14 dengan x dalam persamaan lain, -8x+30y=20.

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

Darabkan -8 kali -2y-14.

$$16y+112+30y=20$$

Tambahkan 16y pada 30y.

$$46y+112=20$$

Tolak 112 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$46y=-92$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 46.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-2y-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

Darabkan -2 kali -2.

$$x=4-14$$

Tambahkan -14 pada 4.

$$x=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-10,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-10,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

Untuk menjadikan 5x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

Permudahkan.

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

Tolak -40x+150y=100 daripada -40x-80y=560 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

Tambahkan -40x pada 40x. Seubtan -40x dan 40x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-80y-150y=560-100$$

Tambahkan -80y pada -150y.

$$-230y=560-100$$

Tambahkan 560 pada -100.

$$-230y=460$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -230.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -8x+30y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

Darabkan 30 kali -2.

$$-8x-60=20$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=80$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-10,y=-2$$