Selesaikan {l}{5=3k+b}{-9=-4k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, b

$$k=2$$

$$b=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3k+b=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4k+b=-9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3k+b=5$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3k=-b+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -b+5.

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-b+5}{3} dengan k dalam persamaan lain, -4k+b=-9.

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

Darabkan -4 kali \frac{-b+5}{3}.

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

Tambahkan \frac{4b}{3} pada b.

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-1$$

Gantikan -1 dengan b dalam k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -1.

$$k=\frac{1+5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada \frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=2,b=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3k+b=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4k+b=-9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan b.

$$k=2,b=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$3k+b=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-4k+b=-9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

Tolak -4k+b=-9 daripada 3k+b=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3k+4k+b-b=5+9$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3k+4k=5+9$$

Tambahkan 3k pada 4k.

$$7k=5+9$$

Tambahkan 5 pada 9.

$$7k=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$k=2$$

Gantikan 2 dengan k dalam -4k+b=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$-4\times 2+b=-9$$

Darabkan -4 kali 2.

$$-8+b=-9$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$b=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=2,b=-1$$