Selesaikan {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$44k+b=72$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$44k=-b+72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 44.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

Darabkan \frac{1}{44} kali -b+72.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

Gantikan -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} dengan k dalam persamaan lain, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

Darabkan 48 kali -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

Tambahkan -\frac{12b}{11} pada b.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

Tolak \frac{864}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -11.

$$b=160$$

Gantikan 160 dengan b dalam k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

Darabkan -\frac{1}{44} kali 160.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

Tambahkan \frac{18}{11} pada -\frac{40}{11} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-2,b=160$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan b.

$$k=-2,b=160$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

Tolak 48k+b=64 daripada 44k+b=72 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$44k-48k=72-64$$

Tambahkan 44k pada -48k.

$$-4k=72-64$$

Tambahkan 72 pada -64.

$$-4k=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$k=-2$$

Gantikan -2 dengan k dalam 48k+b=64. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

Darabkan 48 kali -2.

$$-96+b=64$$

Tambahkan 96 pada kedua-dua belah persamaan.

$$b=160$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-2,b=160$$