Selesaikan {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$12k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12k+b=44$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12k=-b+44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Gantikan -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} dengan k dalam persamaan lain, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Darabkan 82 kali -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Tambahkan -\frac{41b}{6} pada b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Tolak \frac{902}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{35}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{244}{5}$$

Gantikan \frac{244}{5} dengan b dalam k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{12} dengan \frac{244}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Tambahkan \frac{11}{3} pada -\frac{61}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$12k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan b.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$12k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Tolak 82k+b=16 daripada 12k+b=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12k-82k=44-16$$

Tambahkan 12k pada -82k.

$$-70k=44-16$$

Tambahkan 44 pada -16.

$$-70k=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -70.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Gantikan -\frac{2}{5} dengan k dalam 82k+b=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Darabkan 82 kali -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Tambahkan \frac{164}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$b=\frac{244}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$