Selesaikan {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$112k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk k dengan mengasingkan k di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$112k+b=44$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$112k=-b+44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

Darabkan \frac{1}{112} kali -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

Gantikan -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} dengan k dalam persamaan lain, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

Darabkan 82 kali -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Tambahkan -\frac{41b}{56} pada b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

Tolak \frac{451}{14} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{15}{56} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Gantikan -\frac{908}{15} dengan b dalam k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk k.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

Darabkan -\frac{1}{112} dengan -\frac{908}{15} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Tambahkan \frac{11}{28} pada \frac{227}{420} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$k=\frac{14}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$112k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks k dan b.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$112k+b=44$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$82k+b=16$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Tolak 82k+b=16 daripada 112k+b=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$112k-82k=44-16$$

Tambahkan 112k pada -82k.

$$30k=44-16$$

Tambahkan 44 pada -16.

$$30k=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$k=\frac{14}{15}$$

Gantikan \frac{14}{15} dengan k dalam 82k+b=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

Darabkan 82 kali \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

Tolak \frac{1148}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$