Selesaikan {l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$40x+720y=112$$

Tolak 720y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$40x=-720y+112$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

Darabkan \frac{1}{40} kali -720y+112.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Gantikan -18y+\frac{14}{5} dengan x dalam persamaan lain, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

Darabkan 120 kali -18y+\frac{14}{5}.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

Tambahkan -2160y pada 2205y.

$$45y+336=340.5$$

Tolak 336 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$45y=4.5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 45.

$$y=0.1$$

Gantikan 0.1 dengan y dalam x=-18y+\frac{14}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

Darabkan -18 kali 0.1.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada -1.8 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=0.1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Untuk menjadikan 40x dan 120x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 120 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 40.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Permudahkan.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Tolak 4800x+88200y=13620 daripada 4800x+86400y=13440 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

Tambahkan 4800x pada -4800x. Seubtan 4800x dan -4800x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

Tambahkan 86400y pada -88200y.

$$-1800y=13440-13620$$

Tambahkan 13440 pada -13620.

$$-1800y=-180$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1800.

$$y=\frac{1}{10}$$

Gantikan \frac{1}{10} dengan y dalam 120x+2205y=340.5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

Darabkan 2205 kali \frac{1}{10}.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Tolak \frac{441}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$120x=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 120.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$