Selesaikan {l}{4x-y=10}{3x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=10$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{y}{4}+\frac{5}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=8.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

Darabkan 3 kali \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada 2y.

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

Tolak \frac{15}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{2}{11}$$

Gantikan \frac{2}{11} dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{1}{4} dengan \frac{2}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{1}{22} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{28}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

Permudahkan.

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

Tolak 12x+8y=32 daripada 12x-3y=30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-8y=30-32$$

Tambahkan -3y pada -8y.

$$-11y=30-32$$

Tambahkan 30 pada -32.

$$-11y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{2}{11}$$

Gantikan \frac{2}{11} dengan y dalam 3x+2y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

Darabkan 2 kali \frac{2}{11}.

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

Tolak \frac{4}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=\frac{84}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{28}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$