Selesaikan {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Tambahkan 4a pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Tambahkan ay pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=ay+4a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Gantikan a+\frac{ay}{4} dengan x dalam persamaan lain, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Darabkan a kali a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Tambahkan \frac{a^{2}y}{4} pada -4y.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Tambahkan a^{2} pada 6a.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Tolak a\left(6+a\right) daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Gantikan -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} dengan y dalam x=\frac{a}{4}y+a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Darabkan \frac{a}{4} kali -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Tambahkan a pada -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Untuk menjadikan 4x dan ax sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan a dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Permudahkan.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Tolak 4ax-16y+24a=0 daripada 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan 4ax pada -4ax. Seubtan 4ax dan -4ax saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan -a^{2}y pada 16y.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan -4a^{2} pada -24a.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Tambahkan 4a\left(6+a\right) pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Gantikan \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} dengan y dalam ax-4y+6a=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Darabkan -4 kali \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Tambahkan -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} pada 6a.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Tambahkan \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} pada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

Tambahkan 4a pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

Tambahkan ay pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=ay+4a$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali a\left(4+y\right).

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

Gantikan a+\frac{ay}{4} dengan x dalam persamaan lain, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

Darabkan a kali a+\frac{ay}{4}.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

Tambahkan \frac{a^{2}y}{4} pada -4y.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

Tambahkan a^{2} pada 6a.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

Tolak a\left(6+a\right) daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4+\frac{a^{2}}{4}.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Gantikan -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} dengan y dalam x=\frac{a}{4}y+a. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

Darabkan \frac{a}{4} kali -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

Tambahkan a pada -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

Untuk menjadikan 4x dan ax sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan a dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

Permudahkan.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

Tolak 4ax-16y+24a=0 daripada 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan 4ax pada -4ax. Seubtan 4ax dan -4ax saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan -a^{2}y pada 16y.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

Tambahkan -4a^{2} pada -24a.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

Tambahkan 4a\left(6+a\right) pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -a^{2}+16.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

Gantikan \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} dengan y dalam ax-4y+6a=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Darabkan -4 kali \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

Tambahkan -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} pada 6a.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

Tambahkan \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} pada kedua-dua belah persamaan.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan a.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$