Selesaikan {l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-7y=-4$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=7y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 7y-4.

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

Gantikan \frac{7y}{4}-1 dengan x dalam persamaan lain, 7x+5y=-7.

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

Darabkan 7 kali \frac{7y}{4}-1.

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

Tambahkan \frac{49y}{4} pada 5y.

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{69}{4}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{69}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{7}{4}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

Untuk menjadikan 4x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

Permudahkan.

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

Tolak 28x+20y=-28 daripada 28x-49y=-28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-49y-20y=-28+28$$

Tambahkan -49y pada -20y.

$$-69y=-28+28$$

Tambahkan -28 pada 28.

$$-69y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -69.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 7x+5y=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=0$$