Selesaikan {l}{4x-5y=9}{7x-4y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-5y=9$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=5y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 5y+9.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{5y+9}{4} dengan x dalam persamaan lain, 7x-4y=15.

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

Darabkan 7 kali \frac{5y+9}{4}.

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

Tambahkan \frac{35y}{4} pada -4y.

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

Tolak \frac{63}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Gantikan -\frac{3}{19} dengan y dalam x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

Darabkan \frac{5}{4} dengan -\frac{3}{19} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada -\frac{15}{76} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{39}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

Untuk menjadikan 4x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

Permudahkan.

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

Tolak 28x-16y=60 daripada 28x-35y=63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

Tambahkan 28x pada -28x. Seubtan 28x dan -28x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35y+16y=63-60$$

Tambahkan -35y pada 16y.

$$-19y=63-60$$

Tambahkan 63 pada -60.

$$-19y=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=-\frac{3}{19}$$

Gantikan -\frac{3}{19} dengan y dalam 7x-4y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

Darabkan -4 kali -\frac{3}{19}.

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

Tolak \frac{12}{19} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=\frac{273}{19}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{39}{19}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$