Selesaikan {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-3y=21$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=3y+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

Gantikan \frac{21+3y}{4} dengan x dalam persamaan lain, x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

Tambahkan \frac{3y}{4} pada y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

Tolak \frac{21}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

Darabkan \frac{3}{4} kali -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

Tambahkan \frac{21}{4} pada -\frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

Tolak 4x+4y=0 daripada 4x-3y=21 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-4y=21$$

Tambahkan -3y pada -4y.

$$-7y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3=0$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-3$$