Selesaikan {l}{4x-2y-6=0}{4(8+x)+2(20y)-26=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 6 = 0 } \\ { 4 ( 8 + x ) + 2 ( 20 y ) - 26 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{19}{14} = 1\frac{5}{14} \approx 1.357142857$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x-2y=6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4\left(x+8\right)+40y-26=0.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+8\right)+40y-26=0$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada 8.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{19}{2}\right)+40y-26=0$$

Darabkan 4 kali \frac{19+y}{2}.

$$2y+38+40y-26=0$$

Tambahkan 2y pada 40y.

$$42y+38-26=0$$

Tambahkan 38 pada -26.

$$42y+12=0$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$42y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 42.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Gantikan -\frac{2}{7} dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{7}\right)+\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} dengan -\frac{2}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{7}+\frac{3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada -\frac{1}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{19}{14}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Permudahkan persamaan kedua untuk meletakkannya dalam bentuk piawai.

$$4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

Darabkan 4 kali x+8.

$$4x+32+40y-26=0$$

Tambahkan 32 pada -26.

$$4x+40y+6=0$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x+40y=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{84}\\-\frac{1}{42}&\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6+\frac{1}{84}\left(-6\right)\\-\frac{1}{42}\times 6+\frac{1}{42}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{14}\\-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$