Selesaikan {l}{4x-2y=6}{x+2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y=6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+2y=4.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+2y=4$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada 2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1+3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada \frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{1}{10}\times 6+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-2y=6,x+2y=4$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x-2y=6,4x+4\times 2y=4\times 4$$

Permudahkan.

$$4x-2y=6,4x+8y=16$$

Tolak 4x+8y=16 daripada 4x-2y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x-2y-8y=6-16$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-8y=6-16$$

Tambahkan -2y pada -8y.

$$-10y=6-16$$

Tambahkan 6 pada -16.

$$-10y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x+2y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2=4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$