Selesaikan {l}{4x-2y=-2}{-5x+6y=-22}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = - 2 } \\ { - 5 x + 6 y = - 22 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-2y=-2,-5x+6y=-22$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y=-2$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{-1+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -5x+6y=-22.

$$-5\left(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+6y=-22$$

Darabkan -5 kali \frac{-1+y}{2}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5}{2}+6y=-22$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada 6y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}=-22$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{7}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -7.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada -\frac{7}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-2y=-2,-5x+6y=-22$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{4\times 6-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-22\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{1}{7}\left(-22\right)\\\frac{5}{14}\left(-2\right)+\frac{2}{7}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-2y=-2,-5x+6y=-22$$

Untuk menjadikan 4x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-5\times 4x-5\left(-2\right)y=-5\left(-2\right),4\left(-5\right)x+4\times 6y=4\left(-22\right)$$

Permudahkan.

$$-20x+10y=10,-20x+24y=-88$$

Tolak -20x+24y=-88 daripada -20x+10y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-20x+20x+10y-24y=10+88$$

Tambahkan -20x pada 20x. Seubtan -20x dan 20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-24y=10+88$$

Tambahkan 10y pada -24y.

$$-14y=10+88$$

Tambahkan 10 pada 88.

$$-14y=98$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=-7$$

Gantikan -7 dengan y dalam -5x+6y=-22. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+6\left(-7\right)=-22$$

Darabkan 6 kali -7.

$$-5x-42=-22$$

Tambahkan 42 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-7$$