Selesaikan {l}{4x+y=9}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=9$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y+9.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{-y+9}{4} dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=7.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

Darabkan 2 kali \frac{-y+9}{4}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

Tolak \frac{9}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 5.

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada -\frac{5}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

Tolak 2x+y=7 daripada 4x+y=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-2x+y-y=9-7$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4x-2x=9-7$$

Tambahkan 4x pada -2x.

$$2x=9-7$$

Tambahkan 9 pada -7.

$$2x=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam 2x+y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2+y=7$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=5$$