Selesaikan {l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+y=-5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -y-5.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-y-5}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x-2y=-14.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

Darabkan 3 kali \frac{-y-5}{4}.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada -2y.

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

Tambahkan \frac{15}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{41}{11}$$

Gantikan \frac{41}{11} dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{1}{4} dengan \frac{41}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

Tambahkan -\frac{5}{4} pada -\frac{41}{44} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

Permudahkan.

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

Tolak 12x-8y=-56 daripada 12x+3y=-15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+8y=-15+56$$

Tambahkan 3y pada 8y.

$$11y=-15+56$$

Tambahkan -15 pada 56.

$$11y=41$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=\frac{41}{11}$$

Gantikan \frac{41}{11} dengan y dalam 3x-2y=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

Darabkan -2 kali \frac{41}{11}.

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

Tambahkan \frac{82}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{72}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{24}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$