Selesaikan {l}{4x+5y=5}{-4x-10y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 5 } \\ { - 4 x - 10 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y=\frac{2}{5}=0.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+5y=5$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-5y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -5y+5.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-5y+5}{4} dengan x dalam persamaan lain, -4x-10y=-7.

$$-4\left(-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}\right)-10y=-7$$

Darabkan -4 kali \frac{-5y+5}{4}.

$$5y-5-10y=-7$$

Tambahkan 5y pada -10y.

$$-5y-5=-7$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{2}{5} dengan y dalam x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{2}{5}+\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{5}{4} dengan \frac{2}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada -\frac{1}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}&\frac{4}{4\left(-10\right)-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{4}\left(-7\right)\\-\frac{1}{5}\times 5-\frac{1}{5}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+5y=5,-4x-10y=-7$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\times 5y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\left(-10\right)y=4\left(-7\right)$$

Permudahkan.

$$-16x-20y=-20,-16x-40y=-28$$

Tolak -16x-40y=-28 daripada -16x-20y=-20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-16x+16x-20y+40y=-20+28$$

Tambahkan -16x pada 16x. Seubtan -16x dan 16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y+40y=-20+28$$

Tambahkan -20y pada 40y.

$$20y=-20+28$$

Tambahkan -20 pada 28.

$$20y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=\frac{2}{5}$$

Gantikan \frac{2}{5} dengan y dalam -4x-10y=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x-10\times \frac{2}{5}=-7$$

Darabkan -10 kali \frac{2}{5}.

$$-4x-4=-7$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{2}{5}$$