Selesaikan {l}{4x+3y=6}{2x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+6.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2} dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=8.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}\right)-y=8$$

Darabkan 2 kali -\frac{3y}{4}+\frac{3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+3-y=8$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada -y.

$$-\frac{5}{2}y+3=8$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -2.

$$x=\frac{3+3}{2}$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 6+\frac{3}{10}\times 8\\\frac{1}{5}\times 6-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=6,2x-y=8$$

Untuk menjadikan 4x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 6,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 8$$

Permudahkan.

$$8x+6y=12,8x-4y=32$$

Tolak 8x-4y=32 daripada 8x+6y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+6y+4y=12-32$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+4y=12-32$$

Tambahkan 6y pada 4y.

$$10y=12-32$$

Tambahkan 12 pada -32.

$$10y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x-y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\left(-2\right)=8$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-2$$