Selesaikan {l}{4x+3y=5}{y=1-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 5 } \\ { y = 1 - x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{4} dengan x dalam persamaan lain, x+y=1.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+y=1$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{4}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -1.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{3}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-3}&-\frac{3}{4-3}\\-\frac{1}{4-3}&\frac{4}{4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-3\\-5+4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=5,x+y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+3y=5,4x+4y=4$$

Tolak 4x+4y=4 daripada 4x+3y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+3y-4y=5-4$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-4y=5-4$$

Tambahkan 3y pada -4y.

$$-y=5-4$$

Tambahkan 5 pada -4.

$$-y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-1=1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$