Selesaikan {l}{4x+3y=26}{3x-11y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 26 } \\ { 3 x - 11 y = - 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=26$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+26\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+26.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-11y=-7.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}\right)-11y=-7$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{4}+\frac{13}{2}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{39}{2}-11y=-7$$

Tambahkan -\frac{9y}{4} pada -11y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{39}{2}=-7$$

Tolak \frac{39}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{53}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{53}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{13}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali 2.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{4\left(-11\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-11\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-11\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}&\frac{3}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\-7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{53}\times 26+\frac{3}{53}\left(-7\right)\\\frac{3}{53}\times 26-\frac{4}{53}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=26,3x-11y=-7$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 26,4\times 3x+4\left(-11\right)y=4\left(-7\right)$$

Permudahkan.

$$12x+9y=78,12x-44y=-28$$

Tolak 12x-44y=-28 daripada 12x+9y=78 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+9y+44y=78+28$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+44y=78+28$$

Tambahkan 9y pada 44y.

$$53y=78+28$$

Tambahkan 78 pada 28.

$$53y=106$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 53.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x-11y=-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-11\times 2=-7$$

Darabkan -11 kali 2.

$$3x-22=-7$$

Tambahkan 22 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=2$$