Selesaikan {l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=1.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=12.5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+12.5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+12.5.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} dengan x dalam persamaan lain, 3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

Darabkan 3 kali -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

Tambahkan -\frac{9y}{4} pada 3y.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

Tolak \frac{75}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3}{2} dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

Darabkan -\frac{3}{4} dengan \frac{3}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Tambahkan \frac{25}{8} pada -\frac{9}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=1.5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Tolak 3x+3y=10.5 daripada 4x+3y=12.5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

Tambahkan 4x pada -3x.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

Tambahkan 12.5 pada -10.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 3x+3y=10.5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3\times 2+3y=10.5$$

Darabkan 3 kali 2.

$$6+3y=10.5$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=4.5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=1.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1.5$$