Selesaikan {l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=25.2$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-2y+25.2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2y+25.2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Gantikan -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} dengan x dalam persamaan lain, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 5y.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Tolak \frac{63}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{9}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{257}{45}$$

Gantikan \frac{257}{45} dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Darabkan -\frac{1}{2} dengan \frac{257}{45} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Tambahkan \frac{63}{10} pada -\frac{257}{90} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{31}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

Permudahkan.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

Tolak 4x+20y=128 daripada 4x+2y=25.2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-20y=25.2-128$$

Tambahkan 2y pada -20y.

$$-18y=25.2-128$$

Tambahkan 25.2 pada -128.

$$-18y=-102.8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -18.

$$y=\frac{257}{45}$$

Gantikan \frac{257}{45} dengan y dalam x+5y=32. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

Darabkan 5 kali \frac{257}{45}.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Tolak \frac{257}{9} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{31}{9}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$