Selesaikan {l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4m+9n=-35$$

Tolak 9n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4m=-9n-35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -9n-35.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Gantikan \frac{-9n-35}{4} dengan m dalam persamaan lain, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

Darabkan 3 kali \frac{-9n-35}{4}.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

Tambahkan -\frac{27n}{4} pada -8n.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Tambahkan \frac{105}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{59}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$n=-3$$

Gantikan -3 dengan n dalam m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

Darabkan -\frac{9}{4} kali -3.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Tambahkan -\frac{35}{4} pada \frac{27}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$m=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-2,n=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=-2,n=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Untuk menjadikan 4m dan 3m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Permudahkan.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Tolak 12m-32n=72 daripada 12m+27n=-105 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

Tambahkan 12m pada -12m. Seubtan 12m dan -12m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$27n+32n=-105-72$$

Tambahkan 27n pada 32n.

$$59n=-105-72$$

Tambahkan -105 pada -72.

$$59n=-177$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 59.

$$n=-3$$

Gantikan -3 dengan n dalam 3m-8n=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

Darabkan -8 kali -3.

$$3m+24=18$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3m=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$m=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-2,n=-3$$