Selesaikan {l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Gabungkan -4y dan -14y untuk mendapatkan -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-18y=-36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$-2x-7y=-18+4$$

Tambahkan -18 dan 4 untuk dapatkan -14.

$$-2x-7y=-14$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-18y=-36$$

Tambahkan 18y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=18y-36$$

Gantikan -36+18y dengan x dalam persamaan lain, -2x-7y=-14.

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

Darabkan -2 kali -36+18y.

$$-36y+72-7y=-14$$

Tambahkan -36y pada -7y.

$$-43y+72=-14$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-43y=-86$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -43.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=18y-36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=18\times 2-36$$

Darabkan 18 kali 2.

$$x=36-36$$

Tambahkan -36 pada 36.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Gabungkan -4y dan -14y untuk mendapatkan -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-18y=-36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$-2x-7y=-18+4$$

Tambahkan -18 dan 4 untuk dapatkan -14.

$$-2x-7y=-14$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan 2x-y.

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -7 dengan 2y+x.

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

Gabungkan -4y dan -14y untuk mendapatkan -18y.

$$8x-18y-7x=-36$$

Gabungkan 8x dan -7x untuk mendapatkan x.

$$x-18y=-36$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+2.

$$-2x-4-7y=-18$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$-2x-7y=-18+4$$

Tambahkan -18 dan 4 untuk dapatkan -14.

$$-2x-7y=-14$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

Untuk menjadikan x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

Permudahkan.

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

Tolak -2x-7y=-14 daripada -2x+36y=72 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+7y=72+14$$

Tambahkan 36y pada 7y.

$$43y=72+14$$

Tambahkan 72 pada 14.

$$43y=86$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 43.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -2x-7y=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-7\times 2=-14$$

Darabkan -7 kali 2.

$$-2x-14=-14$$

Tambahkan 14 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$