Selesaikan {l}{4=x+y}{4=-x+3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 = x + y } \\ { 4 = - x + 3 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-x+3y=4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=4,-x+3y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+4$$

Gantikan -y+4 dengan x dalam persamaan lain, -x+3y=4.

$$-\left(-y+4\right)+3y=4$$

Darabkan -1 kali -y+4.

$$y-4+3y=4$$

Tambahkan y pada 3y.

$$4y-4=4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2+4$$

Tambahkan 4 pada -2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-x+3y=4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=4,-x+3y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-1\right)}&-\frac{1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}&\frac{1}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 4-\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$x+y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tukar bahagian supaya semua sebutan pemboleh ubah berada di sebelah kiri.

$$-x+3y=4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=4,-x+3y=4$$

Untuk menjadikan x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-x-y=-4,-x+3y=4$$

Tolak -x+3y=4 daripada -x-y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x+x-y-3y=-4-4$$

Tambahkan -x pada x. Seubtan -x dan x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-3y=-4-4$$

Tambahkan -y pada -3y.

$$-4y=-4-4$$

Tambahkan -4 pada -4.

$$-4y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -x+3y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+3\times 2=4$$

Darabkan 3 kali 2.

$$-x+6=4$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=2$$