Selesaikan {l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$361x+463y=-102$$

Tolak 463y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$361x=-463y-102$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 361.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

Darabkan \frac{1}{361} kali -463y-102.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Gantikan \frac{-463y-102}{361} dengan x dalam persamaan lain, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

Darabkan 463 kali \frac{-463y-102}{361}.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

Tambahkan -\frac{214369y}{361} pada 361y.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Tambahkan \frac{47226}{361} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{84048}{361} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

Darabkan -\frac{463}{361} kali -1.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Tambahkan -\frac{102}{361} pada \frac{463}{361} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Untuk menjadikan 361x dan 463x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 463 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 361.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Permudahkan.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Tolak 167143x+130321y=36822 daripada 167143x+214369y=-47226 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

Tambahkan 167143x pada -167143x. Seubtan 167143x dan -167143x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

Tambahkan 214369y pada -130321y.

$$84048y=-47226-36822$$

Tambahkan -47226 pada -36822.

$$84048y=-84048$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 84048.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 463x+361y=102. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

Darabkan 361 kali -1.

$$463x-361=102$$

Tambahkan 361 pada kedua-dua belah persamaan.

$$463x=463$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 463.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$