Selesaikan {l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=20$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$30x+15y=675$$

Tolak 15y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$30x=-15y+675$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

Darabkan \frac{1}{30} kali -15y+675.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Gantikan \frac{-y+45}{2} dengan x dalam persamaan lain, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

Darabkan 42 kali \frac{-y+45}{2}.

$$-21y+945+20y=940$$

Tambahkan -21y pada 20y.

$$-y+945=940$$

Tolak 945 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 5.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Tambahkan \frac{45}{2} pada -\frac{5}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=20,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Untuk menjadikan 30x dan 42x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 42 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 30.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Permudahkan.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Tolak 1260x+600y=28200 daripada 1260x+630y=28350 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

Tambahkan 1260x pada -1260x. Seubtan 1260x dan -1260x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$630y-600y=28350-28200$$

Tambahkan 630y pada -600y.

$$30y=28350-28200$$

Tambahkan 28350 pada -28200.

$$30y=150$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 42x+20y=940. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$42x+20\times 5=940$$

Darabkan 20 kali 5.

$$42x+100=940$$

Tolak 100 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$42x=840$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 42.

$$x=20$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=20,y=5$$