Selesaikan {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y-7x=-9$$

Tambahkan 7x pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=7x-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 7x-9.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Gantikan \frac{7x}{3}-3 dengan y dalam persamaan lain, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

Darabkan 2 kali \frac{7x}{3}-3.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

Tambahkan \frac{14x}{3} pada 5x.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{29}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam y=\frac{7}{3}x-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

Darabkan \frac{7}{3} kali 3.

$$y=7-3$$

Tambahkan -3 pada 7.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=4,x=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Untuk menjadikan 3y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Permudahkan.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Tolak 6y+15x=69 daripada 6y-14x=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-14x-15x=-18-69$$

Tambahkan -14x pada -15x.

$$-29x=-18-69$$

Tambahkan -18 pada -69.

$$-29x=-87$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -29.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam 2y+5x=23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+5\times 3=23$$

Darabkan 5 kali 3.

$$2y+15=23$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=3$$