Selesaikan {l}{3y=4x+8}{2y-8x=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$3y-4x=8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3y-4x=8$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=4x+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 8+4x.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{8+4x}{3} dengan y dalam persamaan lain, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

Darabkan 2 kali \frac{8+4x}{3}.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

Tambahkan \frac{8x}{3} pada -8x.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Tolak \frac{16}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{16}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Gantikan -\frac{5}{16} dengan x dalam y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Darabkan \frac{4}{3} dengan -\frac{5}{16} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada -\frac{5}{12} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=\frac{9}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$3y-4x=8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$3y-4x=8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Untuk menjadikan 3y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Permudahkan.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Tolak 6y-24x=21 daripada 6y-8x=16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

Tambahkan 6y pada -6y. Seubtan 6y dan -6y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8x+24x=16-21$$

Tambahkan -8x pada 24x.

$$16x=16-21$$

Tambahkan 16 pada -21.

$$16x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=-\frac{5}{16}$$

Gantikan -\frac{5}{16} dengan x dalam 2y-8x=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

Darabkan -8 kali -\frac{5}{16}.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{9}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$