Selesaikan {l}{3x-y=6}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=6,2x+y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=6$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Gantikan \frac{y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+y=4$$

Darabkan 2 kali \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+y=4$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{5}{3}y+4=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=6,2x+y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 6+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{5}\times 6+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=6,2x+y=4$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3y=3\times 4$$

Permudahkan.

$$6x-2y=12,6x+3y=12$$

Tolak 6x+3y=12 daripada 6x-2y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-2y-3y=12-12$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-3y=12-12$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y=12-12$$

Tambahkan 12 pada -12.

$$-5y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x+y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$