Selesaikan {l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=6$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+6.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Gantikan \frac{y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

Darabkan 2 kali \frac{y}{3}+2.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada \frac{y}{3}.

$$y+4=8$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{4}{3}.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Permudahkan.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Tolak 6x+y=24 daripada 6x-2y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-y=12-24$$

Tambahkan -2y pada -y.

$$-3y=12-24$$

Tambahkan 12 pada -24.

$$-3y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 2x+\frac{1}{3}y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Tolak \frac{4}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{10}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$