Selesaikan {l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-8y=9$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=8y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 8y+9.

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

Gantikan \frac{8y}{3}+3 dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=-10.

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

Darabkan 4 kali \frac{8y}{3}+3.

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

Tambahkan \frac{32y}{3} pada 3y.

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{41}{3}y=-22$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{41}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Gantikan -\frac{66}{41} dengan y dalam x=\frac{8}{3}y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

Darabkan \frac{8}{3} dengan -\frac{66}{41} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

Tambahkan 3 pada -\frac{176}{41}.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

Untuk menjadikan 3x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

Permudahkan.

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

Tolak 12x+9y=-30 daripada 12x-32y=36 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-32y-9y=36+30$$

Tambahkan -32y pada -9y.

$$-41y=36+30$$

Tambahkan 36 pada 30.

$$-41y=66$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -41.

$$y=-\frac{66}{41}$$

Gantikan -\frac{66}{41} dengan y dalam 4x+3y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

Darabkan 3 kali -\frac{66}{41}.

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

Tambahkan \frac{198}{41} pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-\frac{212}{41}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{53}{41}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$